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日志

【转载】数学各分支简介

热度 16已有 8933 次阅读2014-9-13 12:40 | 数学t


数论

 

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要,数的概念进一步扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。

 

对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说,任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

 

人们在对整数进行运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性。比如,整数可分为两大类—奇数和偶数(通常被称为单数、双数)等。利用整数的一些基本性质,可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅力,吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

 

数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展,就叫做数论了。确切的说,数论就是一门研究整数性质的学科。

 

数论的发展简况

 

自古以来,数学家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科。

 

自我国古代,许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献,使数论的基本理论逐步得到完善。

 

在整数性质的研究中,人们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题,一直受到数学家的关注。

 

到了十八世纪末,历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成,写了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。

 

在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时现存的定理系统化并进行了推广,把要研究的问题和意志的方法进行了分类,还引进了新的方法。

 

数论的基本内容

 

数论形成了一门独立的学科后,随着数学其他分支的发展,研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说,可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。

 

初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助,只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”,就是初等数论中很重要的内容。

 

解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的,俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如,对于“质数有无限多个”这个命题,欧拉给出了解析方法的证明,其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代,苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”,这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。

 

代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去,相应地也建立了素整数、可除性等概念。

 

几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢?在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫做整点;全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究。

 

数论是一门高度抽象的数学学科,长期以来,它的发展处于纯理论的研究状态,它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。

 

由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果;又文献报道,现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外,数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。

 

数论在数学中的地位是独特的,高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”。因此,数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”:费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……

 

在我国近代,数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始,在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献,出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后,数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究,已取得世界领先的优秀成绩。

 

特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后,在国际数学引起了强烈的反响,盛赞陈景润的论文是解析数学的名作,是筛法的光辉顶点。至今,这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。

 

拓扑学

 

 

拓扑学的由来

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支,它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题,后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。

 

在数学上,关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

 

哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)是东普鲁士的首都, 普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥,将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步,一天有人提出:能不能每座桥都只走一遍,最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家,很多人在尝试各种各样的走法,但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

 

1736年,有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉,欧拉经过一番思考,很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化, 他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点,而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成,能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析,欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍,最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。

 

在拓扑学的发展历史中,还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是:如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:f+v-e=2。

 

根据多面体的欧拉定理,可以得出这样一个有趣的事实:只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

 

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一。

 

四色猜想的提出来自英国。1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象:“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”

 

1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878~1880年两年间,著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

 

进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

 

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题,但这些问题又与传统的几何学不同,而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

 

什么是拓扑学?

 

拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名都不大好理解,1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。

 

拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

 

举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

 

拓扑性质有那些呢?首先我们介绍拓扑等价,这是比较容易理解的一个拓扑性质。

 

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等价的概念。比如,尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的,换句话讲,就是从拓扑学的角度看,它们是完全一样的。

 

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来,这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。一般地说,对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的变换就是拓扑变幻,就存在拓扑等价。

 

应该指出,环面不具有这个性质。比如像左图那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆桶形,对于这种情况,我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

 

直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

 

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面,就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790~1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

 

拓扑变换的不变性、不变量还有很多,这里不在介绍。

 

拓扑学建立后,由于其它数学学科的发展需要,它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后,他把拓扑学概念作为分析函数论的基础,更加促进了拓扑学的进展。

 

二十世纪以来,集合论被引进了拓扑学,为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

 

因为大量自然现象具有连续性,所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究,可以阐明空间的集合结构,从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后,数学家对拓扑学的研究更加深入,提出了许多全新的概念。比如,一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何,是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况,而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况,因此,这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年,美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系,并推进了整体几何学的发展。

 

拓扑学发展到今天,在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的,叫做点集拓扑学,或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的,叫做代数拓扑。现在,这两个分支又有统一的趋势。

 

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。

 

射影几何

 

射影几何是研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学,在经典几何学中,射影几何处于一种特殊的地位,通过它可以把其他一些几何学联系起来。

 

射影几何的发展简况

 

十七世纪,当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候,还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系,它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意,欧洲文艺复兴时期透视学的兴起,给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。

 

基于绘图学和建筑学的需要,古希腊几何学家就开始研究透视法,也就是投影和截影。早在公元前200年左右,阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中,出现了帕普斯定理。

 

在文艺复兴时期,人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候,人们发现,一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心,把实物的影子影射到画布上去,然后再描绘出来。在这个过程中,被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系,有的变化了,有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究,因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论,形成了射影几何这门学科。

 

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支,主要是在十七世纪。在17世纪初期,开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后,为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

 

笛沙格是一个自学成才的数学家,他年轻的时候当过陆军军官,后来钻研工程技术,成了一名工程师和建筑师,他很不赞成为理论而搞理论,决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年,他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》,书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作,费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。

 

迪沙格在他的著作中,把直线看作是具有无穷大半径的圆,而曲线的切线被看作是割线的极限,这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理:“如果两个三角形对应顶点连线共点,那么对应边的交点共线,反之也成立”,就是射影几何的基本定理。

 

帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献,1641年,他发现了一条定理:“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理,也是射影几何学中的一条重要定理。1658年,他写了《圆锥曲线论》一书,书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友,曾经敦促他搞透视学方面的研究,并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。

 

不过迪沙格和帕斯卡的这些定理,只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念,而不是用严格的射影方法,他们也没有意识到,自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法,随着解析几何和微积分的创立,综合法让位于解析法,射影几何的探讨也中断了。

 

射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了,前人的许多工作他们不了解,不得不重新再做。

 

1822年,彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点,研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后,施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法,线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖,施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系,进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性,他建立坐标系的做法还不完善,但却迈出了决定性的一步。

 

另—方面,运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系,把变换分为全等,相似,仿射,直射等类型,给出线束中四条线交比的度量公式等。接着,普吕克引进丁另一种齐次坐标系,得到了平面上无穷远线的方程,无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念,于是从代数观点就自然得到了对偶原理,并得到了关于一般线素曲线的一些概念。

 

在19世纪前半叶的几何研究中,综合法和解析法的争论异常激烈;有些数学家完全否定综合法,认为它没有前途,而一些几何学家,如沙勒,施图迪和施泰纳等,则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人,如彭赛列,虽然承认综合法有其局限性,在研究过程中也难免借助于代数,但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系,而且用综合法也确实形象鲜明,有些问题论证直接而简洁。1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。

 

射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系,特别是“群”的概念产生以后,也被引进了射影几何学,对这门几何学的研究起了促进作用。

 

把各种几何和变换群相联系的是克莱因,他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点,并把几种经典几何看作射影几何的子几何,使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何,如黎曼几何,不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。

 

 

射影几何学的内容

 

概括的说,射影几何学是几何学的一个重要分支学科,它是专门研究图形的位置关系的,也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候,图形的不变性质的科学。

 

在射影几何学中,把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线,如果一个平面内两条直线平行,那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。

 

在引入无穷远点和无穷远直线后,原来普通点和普通直线的结合关系依然成立,而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

 

由于经过同一个无穷远点的直线都平行,因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射,就都可以叫做射影变换了。

 

射影变换有两个重要的性质:首先,射影变换使点列变点列,直线变直线,线束变线束,点和直线的结合性是射影变换的不变性;其次,射影变换下,交比不变。交比是射影几何中重要的概念,用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

 

在射影几何里,把点和直线叫做对偶元素,把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中,它们如果都是由点和直线组成,把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素,各运算改为它的对偶运算,结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置,可把各元素改为它的对偶元素,各运算改为它的对偶运算的时候,结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。

 

这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上,如果一个命题成立,那么它的对偶命题也成立,这叫做平面对偶原则。同样,在射影空间里,如果一个命题成立,那么它的对偶命题也成立,叫做空间对偶原则。

 

研究在射影变换下二次曲线的不变性质,也是射影几何学的一项重要内容。

 

如果就几何学内容的多少来说,射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学,这就是说欧氏几何学的内容最丰富,而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等),反过来,在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质,而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

 

1872年,德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类,就是凡是一种变换,它的全体能组成“群”,就有相应的几何学,而在每一种几何学里,主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。

 

 

常微分方程

微分方程的概念

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。

 

但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如:物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律;某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等。

 

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。

 

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

 

在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。

 

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

 

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

 

牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

 

微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

 

常微分方程的内容

 

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程,也可以简单地叫做微分方程。

 

一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同,这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。

 

如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组。

 

常微分方程的特点

 

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点。

 

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究。

 

后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

 

一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定。因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

 

大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解。当然,这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。

 

现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。

 

 

 

 

非欧几何

 

非欧几何的来源

非欧几何学是一门大的数学分支,一般来讲 ,他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学,狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的,至于通常意义的非欧几何,就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设,长期以来,数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来,显得文字叙述冗长,而且也不那么显而易见。

 

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到,而且以后再也没有使用。也就是说,在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

 

因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

 

由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对?第五公设到底能不能证明?

 

到了十九世纪二十年代,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中,他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设。我们知道,这其实就是数学中的反证法。

 

但是,在他极为细致深入的推理过程中,得出了一个又一个在直觉上匪夷所思,但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论:

 

第一,第五公设不能被证明。

 

第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

 

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

 

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中,可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论:逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

 

几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时,匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事,劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年,在他的父亲的一本著作里,以附录的形式发表了研究结果。

 

那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明,并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害,不敢公开发表自己的研究成果,只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法,也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

 

罗式几何

 

罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式 几何平行公理用“从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同。由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

 

我们知道,罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧式几何中如果是正确的,在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中,凡涉及到平行公理的命题,再罗式几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明:

 


 

欧式几何

 

同一直线的垂线和斜线相交。

 

垂直于同一直线的两条直线或向平行。

 

 

 

存在相似的多边形。

 

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

 

 

 

罗式几何

 

同一直线的垂线和斜线不一定相交。

 

垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷。

 

不存在相似的多边形。

 

过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆。

 

从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到,这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。

 

1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。

 

人们既然承认欧几里是没有矛盾的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

 

黎曼几何

 

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的,只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点,不能做直线和已知直线平行”?黎曼几何就回答了这个问题。

 

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在,开创了几何学的一片新的广阔领域。

 

黎曼几何中的一条基本规定是:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在,它的另一条公设讲:直线可以无限演唱,但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

 

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的,但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释,恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。

 

此外,黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础,也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

 

三种几何的关系

 

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系,各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。

 

在我们这个不大不小、不远不近的空间里,也就是在我们的日常生活中,欧式几何是适用的;在宇宙空间中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际;在地球表面研究航海、航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些。

 

 高等代数

 

 

研究对象

 

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数初步 、多项式代数。

 
  高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。


  集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间,是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数,而是向量了,其运算性质也由很大的不同了。

 

不仅是数,也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算,虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合,叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的,具有概括性的一个数学的概念,广泛应用于其他部门。

 

发展简史

 

 
代数学的历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上,许多数学家走过了一段颇不平坦的路途,付出了艰辛的劳动。

 
  人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

 
  在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。

 
  在数学史上,相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501~1576)骗到了这个三次方程的解的公式,并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式),其实,它应该叫塔塔里亚公式。


  三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522~1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,但一直持续了长达三个多世纪,都没有解决。


  到了十九世纪初,挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802~1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难,而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。


  后来,五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题,由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候,因为积极参加法国资产阶级革命运动,曾两次被捕入狱,1832年4月,他出狱不久,便在一次私人决斗中死去,年仅21岁。

 
  伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运,所以曾连夜给朋友写信,仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出,并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说:“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的;有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯,不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”


  伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年,才由刘维尔(1809~1882)编辑出版了他的部分文章,并向数学界推荐。


  随着时间的推移,伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻,但是他在数学史上做出的贡献,不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念,并由此发展了一整套关于群和域的理论,开辟了代数学的一个崭新的天地,直接影响了代数学研究方法的变革。从此,代数学不再以方程理论为中心内容,而转向对代数结构性质的研究,促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中,伽罗华的论文是最薄的,但他的数学思想却是光辉夺目的。

 

基本内容

 

代数学从高等代数总的问题出发,又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目,比如:多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象,也已不仅是数,还有矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。


  多项式是一类最常见、最简单的函数,它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。


  多项式代数所研究的内容,包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点,零点不存在的时候,所对应的代数方程就没有解。


  我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

 
  行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。


  行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数。


  因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等。


  矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

 

 

抽象代数

 

创始人

 

被誉为天才数学家的Galois(1811-1832)是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件,他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois 群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。


  1843年,Hamilton发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年,Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年,Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上,减弱或删去普通代数的某些假定,或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的),就能研究出许多种代数体系。

 
  1870年,Kronecker给出了有限Abel群的抽象定义;Dedekind开始使用“体”的说法,并研究了代数体;1893年,韦伯定义了抽象的体;1910年,施坦尼茨展开了体的一般抽象理论;Dedekind和Kronecker创立了环论;1910年,施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究,开创了抽象代数学。

 

奠基人及理论

 

有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为"代数女皇",她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根,1900年入埃朗根大学,1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年,她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式,在格丁根大学的就职论文中,讨论连续群(Lie群)下不变式问题,给出Noether定理,把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交换代数与交换算术。1916年后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年,她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的<< 整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换Noether环理论,证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>,给Dedekind环一个公理刻画,指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。Noether的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927-1935年,Noether研究非交换代数与非交换算术。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循环代数。


  1930年,毕尔霍夫建立格论,它源于1847年的bool代数;第二次世界大战后,出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派;1955年,Cartan等建立了同调代数理论。

 

研究对象

 

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量(vector)、矩阵(matrix)、变换(transformation)等,这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数。抽象代数,包含有群(group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

 

 

计算数学

 

 


什么是计算数学

现代的科学技术发展十分迅速,他们有一个共同的特点,就是都有大量的数据问题。


比如,发射一颗探测宇宙奥秘的卫星,从卫星世纪开始到发射、回收为止,科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产,要对选用的火箭进行设计和生产,这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。发射和回收的时候,又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。


有如,在高能加速器里进行高能物理试验,研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律,这里面也有大量的数据计算问题。


计算问题可以数是现代社会各个领域普遍存在的共同问题,工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等,那一行那一业都有许多数据需要计算,通过数据分析,以便掌握事物发展的规律。


研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算数学。


计算数学属于应用数学的范畴,它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决。


计算数学的内容


计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法,函数的数值逼近问题,矩阵特征值的求法,最优化计算问题,概率统计计算问题等等,还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。


我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式,因此,要求出五次以上的高次代数方程的解,一般只能求它的近似解,求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程,如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。


在求解方程的办法中,常用的办法之一是迭代法,也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的,是比较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式,使得收敛速度快,近似误差小。


在线性代数方程组的解法中,常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外,一些比较古老的普通消去法,如高斯法、追赶法等等,在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。


在计算方法中,数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替,就是用简单的函数去代替比较复杂的函数,或者代替不能用解析表达式表示的函数。数值逼近的基本方法是插值法。初等数学里的三角函数表,对数表中的修正值,就是根据插值法制成的。


在遇到求微分和积分的时候,如何利用简单的函数去近似代替所给的函数,以便容易求到和求积分,也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法也是近似解法。常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题,目前常用的是有限差分法、有限元素法等。


有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。


有限元素法是近代才发展起来的,它是以变分原理和剖分差值作为基础的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。穆恰,有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程。


计算数学的内容十分丰富,它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。

 

 

运筹学

 

在中国战国时期,曾经有过一次流传后世的赛马比赛,相信大家都知道,这就是田忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下,经过筹划、安排,选择一个最好的方案,就会取得最好的效果。可见,筹划安排是十分重要的。


现在普遍认为,运筹学是近代应用数学的一个分支,主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼,然后利用数学方法进行解决。前者提供模型,后者提供理论和方法。


运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战,要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上,做出最优的对付敌人的方法,这就是“运筹帷幄之中,决胜千里之外”的说法。


但是作为一门数学学科,用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排,却是晚多了。也可以说,运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。


运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然,随着客观实际的发展,运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动,有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学可以根据问题的要求,通过数学上的分析、运算,得出各种各样的结果,最后提出综合性的合理安排,已达到最好的效果。


运筹学作为一门用来解决实际问题的学科,在处理千差万别的各种问题时,一般有以下几个步骤:确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。


虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学,但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型,并能应用解决较广泛的实际问题。


随着科学技术和生产的发展,运筹学已渗入很多领域里,发挥了越来越重要的作用。运筹学本身也在不断发展,现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。比如:数学规划(又包含线性规划;非线性规划;整数规划;组合规划等)、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、模拟等等。


各分支简介


数学规划的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。它可以表示成求函数在满足约束条件下的极大极小值问题。


数学规划和古典的求极值的问题有本质上的不同,古典方法只能处理具有简单表达式,和简单约束条件的情况。而现代的数学规划中的问题目标函数和约束条件都很复杂,而且要求给出某种精确度的数字解答,因此算法的研究特别受到重视。


这里最简单的一种问题就是线性规划。如果约束条件和目标函数都是呈线性关系的就叫线性规划。要解决线性规划问题,从理论上讲都要解线性方程组,因此解线性方程组的方法,以及关于行列式、矩阵的知识,就是线性规划中非常必要的工具。


线性规划及其解法—单纯形法的出现,对运筹学的发展起了重大的推动作用。许多实际问题都可以化成线性规划来解决,而单纯形法有是一个行之有效的算法,加上计算机的出现,使一些大型复杂的实际问题的解决成为现实。


非线性规划是线性规划的进一步发展和继续。许多实际问题如设计问题、经济平衡问题都属于非线性规划的范畴。非线性规划扩大了数学规划的应用范围,同时也给数学工作者提出了许多基本理论问题,使数学中的如凸分析、数值分析等也得到了发展。还有一种规划问题和时间有关,叫做“动态规划”。近年来在工程控制、技术物理和通讯中的最佳控制问题中,已经成为经常使用的重要工具。


排队论是运筹学的又一个分支,它有叫做随机服务系统理论。它的研究目的是要回答如何改进服务机构或组织被服务的对象,使得某种指标达到最优的问题。比如一个港口应该有多少个码头,一个工厂应该有多少维修人员等。


排队论最初是在二十世纪初由丹麦工程师艾尔郎关于电话交换机的效率研究开始的,在第二次世界大战中为了对飞机场跑道的容纳量进行估算,它得到了进一步的发展,其相应的学科更新论、可靠性理论等也都发展起来。


因为排队现象是一个随机现象,因此在研究排队现象的时候,主要采用的是研究随机现象的概率论作为主要工具。此外,还有微分和微分方程。排队论把它所要研究的对象形象的描述为顾客来到服务台前要求接待。如果服务台以被其它顾客占用,那么就要排队。另一方面,服务台也时而空闲、时而忙碌。就需要通过数学方法求得顾客的等待时间、排队长度等的概率分布。


排队论在日常生活中的应用是相当广泛的,比如水库水量的调节、生产流水线的安排,铁路分成场的调度、电网的设计等等。


对策论也叫博弈论,前面讲的田忌赛马就是典型的博弈论问题。作为运筹学的一个分支,博弈论的发展也只有几十年的历史。系统地创建这门学科的数学家,现在一般公认为是美籍匈牙利数学家、计算机之父——冯·诺依曼。


最初用数学方法研究博弈论是在国际象棋中开始的——如何确定取胜的着法。由于是研究双方冲突、制胜对策的问题,所以这门学科在军事方面有着十分重要的应用。近年来,数学家还对水雷和舰艇、歼击机和轰炸机之间的作战、追踪等问题进行了研究,提出了追逃双方都能自主决策的数学理论。近年来,随着人工智能研究的进一步发展,对博弈论提出了更多新的要求。


搜索论是由于第二次世界大战中战争的需要而出现的运筹学分支。主要研究在资源和探测手段受到限制的情况下,如何设计寻找某种目标的最优方案,并加以实施的理论和方法。在第二次世界大战中,同盟国的空军和海军在研究如何针对轴心国的潜艇活动、舰队运输和兵力部署等进行甄别的过程中产生的。搜索论在实际应用中也取得了不少成效,例如二十世纪六十年代,美国寻找在大西洋失踪的核潜艇“打谷者号”和“蝎子号”,以及在地中海寻找丢失的氢弹,都是依据搜索论获得成功的。


运筹学有广阔的应用领域,它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性、等各个方面。

 

分形几何

 

 

普通几何学研究的对象,一般都具有整数的维数。比如,零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的,产生了新兴的分形几何学,空间具有不一定是整数的维,而存在一个分数维数,这是几何学的新突破,引起了数学家和自然科学者的极大关注。

 

分形几何的产生

 

客观自然界中许多事物,具有自相似的“层次”结构,在理想情况下,甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构并不改变。不少复杂的物理现象,背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

 

客观事物有它自己的特征长度,要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城,嫌太短;用尺来测量大肠杆菌,又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度,就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度(或者叫标度),这叫做“无标度性”的问题。

 

如物理学中的湍流,湍流是自然界中普遍现象,小至静室中缭绕的轻烟,巨至木星大气中的涡流,都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量,经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡,最后转化成分子尺度上的热运动,同时涉及大量不同尺度上的运动状态,就要借助“无标度性”解决问题,湍流中高漩涡区域,就需要用分形几何学。

 

在二十世纪七十年代,法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长?这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。

 

如果用公里作测量单位,从几米到几十米的一些曲折会被忽略;改用米来做单位,测得的总长度会增加,但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制,取不列颠岛外缘上几个突出的点,用直线把它们连起来,得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子,使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间,存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区,长度不是海岸线的定量特征,就要用分维。

 

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发,始终保持面积不变,把它的“海岸线”变成无限曲线,其长度也不断增加,并趋向于无穷大。以后可以看到,分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量,即海岸线的分维均介于1到2之间。

 

这些自然现象,特别是物理现象和分形有着密切的关系,银河系中的若断若续的星体分布,就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型,都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究,从而产生了分形几何学。

 

电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑,每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊,促使数学家和科学家深入研究。

 

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物,对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书,特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》,开创了新的数学分支——分形几何学。

 

分形几何的内容

 

分形几何学的基本思想是:客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似性。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构不变。

 

维数是几何对象的一个重要特征量,它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,对于更抽象或更复杂的对象,只要每个局部可以和欧氏空间对应,也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

 

分形理论认为维数也可以是分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度,1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

 

维数和测量有着密切的关系,下面我们举例说明一下分维的概念。

 

当我们画一根直线,如果我们用 0维的点来量它,其结果为无穷大,因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它,其结果是 0,因为直线中不包含平面。那么,用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值,而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。

 

对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线,其整体是一条无限长的线折叠而成,显然,用小直线段量,其结果是无穷大,而用平面量,其结果是 0(此曲线中不包含平面),那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值,而这个维数显然大于 1、小于 2,那么只能是小数了,所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。

 

分形几何学的应用

 

分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续,但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2,大大高于它的拓扑维数 1。

 

在某些电化学反应中,电极附近成绩的固态物质,以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的沉积而生长,成为带有许多须须毛毛的枝条状,就可以用分维。

 

自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈,每个枝杈继续分为细杈……,至少有十几次分支的层次,可以用分形几何学去测量。

 

有人研究了某些云彩边界的几何性质,发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵,更受地形概貌影响,大于1000公里时,地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制,中间有三个数量级的无标度区,这已经足够了。分形存在于这中间区域。

 

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中,都实际测得了混沌吸引子,并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

 

突变理论


突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。

 

突变理论的产生

许多年来,自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程,都可以用微积分的方法给以圆满解决。例如,地球绕着太阳旋转,有规律地周而复始地连续不断进行,使人能及其精确地预测未来的运动状态,这就需要运用经典的微积分来描述。

 

但是,自然界和社会现象中,还有许多突变和飞跃的过程,飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的,微积分就无法解决。例如,水突然沸腾,冰突然融化,火山爆发,某地突然地震,房屋突然倒塌,病人突然死亡……。

 

这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程,就是突变现象,微积分是不能描述的。以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难,其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。那么,有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢?这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程,研究不连续性现象的数学理论。

 

1972年法国数学家雷内·托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中,明确地阐明了突变理论,宣告了突变理论的诞生。

 

突变理论的内容

突变理论主要以拓扑学为工具,以结构稳定性理论为基础,提出了一条新的判别突变、飞跃的原则:在严格控制条件下,如果质变中经历的中间过渡态是稳定的,那么它就是一个渐变过程。

 

比如拆一堵墙,如果从上面开始一块块地把砖头拆下来,整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙,拆到一定程度,就会破坏墙的结构稳定性,墙就会哗啦一声,倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革,从封建社会过渡到资本主义社会,法国大革命采用暴力来实现,而日本的明治维新就是采用一系列改革,以渐变方式来实现。

 

对于这种结构的稳定与不稳定现象,突变理论用势函数的洼存在表示稳定,用洼取消表示不稳定,并有自己的一套运算方法。例如,一个小球在洼底部时是稳定的,如果把它放在突起顶端时是不稳定的,小球就会从顶端处,不稳定滚下去,往新洼地过渡,事物就发生突变;当小球在新洼地底处,又开始新的稳定,所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。

 

托姆的突变理论,就是用数学工具描述系统状态的飞跃,给出系统处于稳定态的参数区域,参数变化时,系统状态也随着变化,当参数通过某些特定位置时,状态就会发生突变。

 

突变理论提出一系列数学模型,用以解是自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程,描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂,桥梁的断裂,细胞的分裂,胚胎的变异,市场的破坏以及社会结构的激变……。

 

按照突变理论,自然界和社会现象中的大量的不连续事件,可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出,发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变,有七种突变类型:折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。

 

例如,用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝,使其向上弯曲,然后再用力压钢丝使其变形,当达到一定程度时,钢丝会突然向下弯曲,并失去弹性。这就是生活中常见的一种突变现象,它有两个稳定状态:上弯和下弯,状态由两个参数决定,一个是手指夹持的力(水平方向),一个是钢丝的压力(垂直方向),可用尖顶突变来描述。

 

尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的,比如死亡是一种突变,活人可以变成死人,反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以,突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。

 

英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体,悉心研究,扩展应用。短短几年,论文已有四百多篇,可成为盛极一时,托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。

 

突变理论的应用

突变理论在在自然科学的应用是相当广泛的。在物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系,提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型,解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。在化学中,用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液,用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。在生态学中研究了物群的消长与生灭过程,提出了根治蝗虫的模型与方法。在工程技术中,研究了弹性结构的稳定性,通过桥梁过载导致毁坏的实际过程,提出最优结构设计……。

 

突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题,人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的,只有在控制因素达到临界点之前,状态才是可以控制的。一旦发生根本性的质变,它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制,为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系,以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点,还要研究突变的方向与幅度。

 

模糊数学

 

 

二十世纪六十年代,产生了模糊数学这门新兴学科。

模糊数学的产生

 

现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看,在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性,人们可以通过说明属性来说明概念(内涵),也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延,外延其实就是集合。从这个意义上讲,集合可以表现概念,而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理,一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

 

但是,数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上,它明确地限定:每个集合都必须由明确的元素构成,元素对集合的隶属关系必须是明确的,决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物,经典集合论是暂时不去反映的,属于待发展的范畴。

 

在较长时间里,精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中,获得显著效果。但是,在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它,但是,由于现代科技所面对的系统日益复杂,模糊性总是伴随着复杂性出现。

 

各门学科,尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是,随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展,要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力,就必须研究和处理模糊性。

 

我们研究人类系统的行为,或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统,如航天系统、人脑系统、社会系统等,参数和变量甚多,各种因素相互交错,系统很复杂,它的模糊性也很明显。从认识方面说,模糊性是指概念外延的不确定性,从而造成判断的不确定性。

 

在日常生活中,经常遇到许多模糊事物,没有分明的数量界限,要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如,比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中,往往也有许多模糊的东西。例如,要确定一炉钢水是否已经炼好,除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外,还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此,除了很早就有涉及误差的计算数学之外,还需要模糊数学。

 

人与计算机相比,一般来说,人脑具有处理模糊信息的能力,善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差,为了提高计算机识别模糊现象的能力,就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序,以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断,从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样,就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具,这就推动数学家深入研究模糊数学。所以,模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。

 

模糊数学的研究内容

 

1965年,美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》,标志着模糊数学这门学科的诞生。

 

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面:

 

第一,研究模糊数学的理论,以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础,并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律,开展有关的理论研究,就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础,能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

 

在模糊集合中,给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况,而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度,还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念,70岁的肯定属于老人,它的从属程度是 1,40岁的人肯定不算老人,它的从属程度为 0,按照查德给出的公式,55岁属于“老”的程度为0.5,即“半老”,60岁属于“老”的程度0.8。查德认为,指明各个元素的隶属集合,就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时,就是模糊集合。

 

第二,研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性,人们经常接受模糊语言与模糊信息,并能做出正确的识别和判断。

 

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话,就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型,才能给计算机输入指令,建立和是的模糊数学模型,这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型,使人类语言数量化、形式化。

 

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1,那么,其他文法稍有错误,但尚能表达相仿的思想的句子,就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样,就把模糊语言进行定量描述,并定出一套运算、变换规则。目前,模糊语言还很不成熟,语言学家正在深入研究。

 

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性,采用形式逻辑的排中律,既非真既假,然后进行判断和推理,得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的,它在处理客观事物的确定性方面,发挥了巨大的作用,但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

 

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点,就必须把计算机转到多值逻辑基础上,研究模糊逻辑。目前,模糊罗基还很不成熟,尚需继续研究。

 

第三,研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要,查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化,从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来,过去精确数学、随机数学描述感到不足之处,就能得到弥补。在模糊数学中,目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

 

模糊数学的应用

 

模糊数学是一门新兴学科,它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能,不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

 

目前,世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机,1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机,它的推理速度是1000万次/秒。1988年,我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机,它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

 

模糊数学还远没有成熟,对它也还存在着不同的意见和看法,有待实践去检验。

 

 

偏微分方程

 

 

偏微分方程的起源

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。

 

在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了,不少问题有多个变量的函数来描述。比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量,等等。这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。

 

应该指出,对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示,只能是理想化的,如介质的密度,实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限,这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。

 

微积分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

 

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。

 

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

 

偏微分方程的内容

 

偏微分方程是什么样的?它包括哪些内容?这里我们可从一个例子的研究加以介绍。

 

弦振动是一种机械运动,当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma,但是弦并不是质点,所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。

 

弦是指又细又长的弹性物质,比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候,弦总是绷紧着具有一种张力,这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动,虽然只因其所接触的一段弦振动,但是由于张力的作用,传播到使整个弦振动起来。

 

用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型,一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程,它属于数学物理方程中的波动方程,也就是双曲型偏微分方程。

 

偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。

 

拿上面所举的弦振动的例子来说,对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。

 

天文学中也有类似情况,如果要通过计算预言天体的运动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候,总会有类似的附加条件。

 

就弦振动来说,弦振动方程只表示弦的内点的力学规律,对弦的端点就不成立,所以在弦的两端必须给出边界条件,也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。

 

当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”,如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有“没有边界条件的问题”,如着重研究不靠近两端的那段弦,就抽象的成为无边界的弦了。

 

在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性,是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体,就叫做定解问题。

 

求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易求出的,用定解条件确定函数更是比较困难的。

 

偏微分方程的解法还可以用分离系数法,也叫做傅立叶级数;还可以用分离变数法,也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离变数法可以求解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进行反演就可以了。

 

应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。

 

常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

 

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。

 

 

代数几何

 

 

几何空间

空间的概念复我们来说是熟悉的。我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我们所处的空间中的某一位置,就需要用三个方向来表示,这个意思也就是说空间是“三维”的。

 

在数学中经常用到“空间”这个概念,它指的范围很广,一般指某种对象(现象、状况、图形、函数等)的任意集合,只要其中说明了“距离”或“邻域”的概念就可以了。而所谓“维”的概念,如果我们所谈到的只是简单的几何图形,如点、线、三角形和多边形……,那么理解维的概念并不困难:点的维数是零;一条线段的维数是一;一个三角形的维数是二;一个立方体内所有点的集合的是三维的。

 

如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候,维的概念就不那么容易理解了。比如,什么是四维空间呢?关于四维空间,我国古代有一些说法是很有意思的。最典型的就是对于“宇宙”两字的解释,古人的说法是“四方上下曰宇,古往今来曰宙”,用现在的话说就是,四维空间是在三维空间的基础上再加上时间维作为并列的第四个坐标。

 

爱因斯坦认为每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如我们所住的房子,就是由长度、宽度、高度、和时间制约的。所谓时间制约就是从盖房的时候算起,直到最后房子倒塌为止。

 

根据上边的说法,几何学和其它科学研究的 n维空间的概念,就可以理解成由空间的点的 n个坐标决定。这个空间的图形就定义成满足这个或那个条件的点的轨迹。一般来说,某个图形由 n个条件给出,那么这个图形就是某个 n维的点。至于这个图形到底是什么形象,我们是否能想象得出来,对数学来说是无关紧要的。

 

几何学中的“维”的概念,实际上就是构成空间的基本元素,也就是点的活动的自由度,或者说是点的坐标。所谓 n维空间,经常是用来表示超出通常的几何直观范围的数学概念的一种几何语言。

 

从上面的介绍可以看出,几何中的元素可用代数中的是数来表示,代数问题如果通过几何的语言给与直观的描述,有时候可以给代数问题提示适当的解法。比如解三元一次方程组,就可以认为是求解三个平面的交点问题。

 

代数几何学的内容

 

用代数的方法研究几何的思想,在继出现解析几何之后,又发展为几何学的另一个分支,这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。

 

代数几何学的兴起,主要是源于求解一般的多项式方程组,开展了由这种方程组的解答所构成的空间,也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置,同样,对于任何一种代数簇也可以引进坐标,因此,坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。

 

代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如,阿贝尔在关于椭圆积分的研究中,发现了椭圆函数的双周期性,从而奠定了椭圆曲线理论基础。

 

黎曼1857年引入并发展了代数函数论,从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上,从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念,黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量:亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。

 

在黎曼之后,德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。

 

从19世纪末开始,出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作,特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础,这些工作中存在不少漏洞和错误,其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。

 

20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代,扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上,韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论,然后20世纪50年代中期,法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上,并建立了凝聚层的上同调理论,这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。

 

代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的,在论证中虽然使用坐标法,但是采用坐标法多建立在射影坐标系的基础上。

 

在解析几何中,主要是研究一次曲线和曲面、二次曲线和曲面。而在代数几何中主要是研究三次、四次的曲线和曲面以及它们的分类,继而过渡到研究任意的代数流形。

 

代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系,如数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时,作为一门理论学科,代数几何的应用前景也开始受到人们的注意,其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。

 

近年来,人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具,这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

 

 

微分几何

 

 

微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质,换句话说,微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。

 

微分几何的产生

微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念,即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标,从而开始了曲线的内在几何的研究。

 

十八世纪初,法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去,并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书,这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中,可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。

 

1827年,高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作,这在微分几何的历史上有重大的意义,它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后,高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容,建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质,例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。

 

1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时,阐述了《埃尔朗根纲领》,用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内,它成了几何学的指导原理,推动了几何学的发展,导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文,后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展,1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。

 

随后,由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立,微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用,逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。

微分几何学的基本内容

微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。

 

在曲面上有两条重要概念,就是曲面上的距离和角。比如,在曲面上由一点到另一点的路径是无数的,但这两点间最短的路径只有一条,叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里,要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线,还要讨论测地线的性质等。另外,讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。

 

在微分几何中,为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质,常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究,还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。

 

在微分几何中,由于运用数学分析的理论,就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小,一些复杂的依赖关系可以变成线性的,不均匀的过程也可以变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方法。

 

近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究,使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系,这些数学部门和微分几何互相渗透,已成为现代数学的中心问题之一。

 

微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用,比如,在弹性薄壳结构方面,在机械的齿轮啮合理论应用方面,都充分应用了微分几何学的理论。

  

数理逻辑

 

 

逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科,最早由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。

 

数理逻辑的产生

 

利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程,这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经射向果能不能创造一种“通用的科学语言”,可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算,从而得出正确的结论。由于当时的社会条件,他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽,从这个意义上讲,莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。

 

1847年,英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》,建立了“布尔代数”,并创造一套符号系统,利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则,利用代数的方法研究逻辑问题,初步奠定了数理逻辑的基础。

 

十九世纪末二十世纪初,数理逻辑有了比较大的发展,1884年,德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书,在书中引入量词的符号,使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的,还有美国人皮尔斯,他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成,成为一门独立的学科。

 

数理逻辑的内容

 

数理逻辑包括哪些内容呢?这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分,就是“命题演算”和“谓词演算”。

 

命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。

 

如果我们把命题看作运算的对象,如同代数中的数字、字母或代数式,而把逻辑连接词看作运算符号,就象代数中的“加、减、乘、除”那样,那么由简单命题组成复和命题的过程,就可以当作逻辑运算的过程,也就是命题的演算。

 

这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质,满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律,同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律,我们可以进行逻辑推理,可以简化复和命题,可以推证两个复合命题是不是等价,也就是它们的真值表是不是完全相同等等。

 

命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数,它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费,也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”,运算对象只有两个数 0和 1,相当于命题演算中的“真”和“假”。

 

逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现象完全一样,都只有两种不同的状态,因此,它在电路分析中得到广泛的应用。

 

利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路,就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络,这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现,从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此,在自动控制方面有重要的应用。

 

谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里,把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式,由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题,然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。

 

命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系;变项是指一定范围内的任何一个,这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同,它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项,那么命题涵项就成为真的或假的命题了。

 

命题涵项加上全程量词或者存在量词,那么它就成为全称命题或者特称命题了。

 

数理逻辑的发展

 

数理逻辑这门学科建立以后,发展比较迅速,促进它发展的因素也是多方面的。比如,非欧几何的建立,促进人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性,就促进了数理逻辑的发展。

 

集合论的产生是近代数学发展的重大事件,但是在集合论的研究过程中,出现了一次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么是悖论呢?悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个分支,被公认为是数学的基础。

 

1903年,英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”,这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。

 

罗素悖论中有许多例子,其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”:某乡村有一位理发师,有一天他宣布:只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题:理发师究竟给不给自己刮胡子?如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的原则,他又不该给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,那么他就是不自己刮胡子的人,按照他的原则,他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。

 

悖论的提出,促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题,从而产生了数理逻辑的一个重要分支—公理集合论。

 

非欧几何的产生和集合论的悖论的发现,说明数学本身还存在许多问题,为了研究数学系统的无矛盾性问题,需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象,研究数学系统的逻辑结构和证明的规律,这样又产生了数理逻辑的另一个分支—证明论。

 

数理逻辑新近还发展了许多新的分支,如递归论、模型论等。第归论主要研究可计算性的理论,他和计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统和数学模型之间的关系。

 

数理逻辑近年来发展特别迅速,主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响,特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来,其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。

 

正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科,所以它本身也存在许多问题有待于深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题,进行研究解决。

 

总之,这门学科的重要性已经十分明显,他已经引起了更多人的关心和重视。

 

 

概率与数理统计

 

 

从随机现象说起

在自然界和现实生活中,一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中,根据它们是否有必然的因果联系,可以分成截然不同的两大类:一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下,必定会导致某种确定的结果。举例来说,在标准大气压下,水加热到100摄氏度,就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的,寻求这类必然现象的因果关系,把握它们之间的数量规律。

 

另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下,它的结果是不确定的。举例来说,同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个,它们的尺寸总会有一点差异。又如,在同样条件下,进行小麦品种的人工催芽试验,各棵种子的发芽情况也不尽相同,有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下,会出现这种不确定的结果呢?这是因为,我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的,除了这些主要条件外,还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样,我们在这一类现象中,就无法用必然性的因果关系,对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的,这种现象叫做偶然现象,或者叫做随机现象。

 

在自然界,在生产、生活中,随机现象十分普遍,也就是说随机现象是大量存在的。比如:每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等,都是随机现象。因此,我们说:随机现象就是:在同样条件下,多次进行同一试验或调查同一现象,所的结果不完全一样,而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性,是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。

 

随机现象从表面上看,似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性,随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币,每一次投掷很难判断是那一面朝上,但是如果多次重复的掷这枚硬币,就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。

 

我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性,叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。

 

概率论的产生和发展

 

概率论产生于十七世纪,本来是又保险事业的发展而产生的,但是来自于赌博者的请求,却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

 

早在1654年,有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题:“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢 m局就算赢,全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局,另一个人赢了 b(b<m)局的时候,赌博中止。问:赌本应该如何分法才合理?”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。

 

三年后,也就是1657年,荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题,结果写成了《论机会游戏的计算》一书,这就是最早的概率论著作。

 

近几十年来,随着科技的蓬勃发展,概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学,如信息论、对策论、排队论、控制论等,都是以概率论作为基础的。

 

概率论和数理统计是一门随机数学分支,它们是密切联系的同类学科。但是应该指出,概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。

 

概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律,对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断,对这种出现的可能性大小做出数量上的描述;比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系,从而形成一整套数学理论和方法。

 

数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性;对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明;并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的,并可以控制发生错误的概率。

 

统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用,它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。

 

应该指出,概率统计在研究方法上有它的特殊性,和其它数学学科的主要不同点有:

 

第一,由于随机现象的统计规律是一种集体规律,必须在大量同类随机现象中才能呈现出来,所以,观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是,作为数学学科的一个分支,它依然具有本学科的定义、公理、定理的,这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律,但这些定义、公理、定理是确定的,不存在任何随机性。

 

第二,在研究概率统计中,使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的,在进行试验、观测的时候,不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论,要全体范围内推断这些结论的可靠性。

 

第三,随机现象的随机性,是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后,对于每一次试验,它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时,应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。

 

概率论的内容

 

概率论作为一门数学分支,它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。

 

概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中,如果某一事件在全部事件中出现的频率,在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。

 

有一类随机事件,它具有两个特点:第一,只有有限个可能的结果;第二,各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

 

在客观世界中,存在大量的随机现象,随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果,就叫做随机变量。

 

随机变量有有限和无限的区分,一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举,这样的随机变量叫做离散型随机变量;如果可能的取值充满了一个区间,无法按次序一一列举,这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

 

在离散型随机变量的概率分布中,比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的,都有一个分布曲线,实践和理论都证明:有一种特殊而常用的分布,它的分布曲线是有规律的,这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数,其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望,差异度也就是标准方差。

 

数理统计的内容

 

数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查,来推断总体的情况。究竟抽样多少,这是十分重要的问题,因此,在抽样检查中就产生了“小样理论”,这是在子样很小的情况下,进行分析判断的理论。

 

适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线,从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线?如何比较同一问题中求出的几种不同曲线?选配好曲线,有如何判断它们的误差?……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。

 

假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候,先作出假设,在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。

 

方差分析也叫做离差分析,就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。

 

由于随机现象在人类的实际活动中大量存在,概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展,因而形成了许多重要分支。如:随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。

 

数学物理

 

 

数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型,即寻求物理现象的数学描述,并对模型已确立的物理问题研究其数学解法,然后根据解答来诠释和预见物理现象,或者根据物理事实来修正原有模型。


物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中,质点和刚体的运动用常微分方程来刻画,求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如,天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。


在十八世纪中,牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画,这又促进了变分法的发展,并且到后来,许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。


十八世纪以来,在连续介质力学、传热学和电磁场理论中,归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期,数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。


此后,联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要,又有许多新的偏微分方程问题出现,例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。


从二十世纪开始,由于物理学内容的更新,数学物理也有了新的面貌。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究,人们的时空观念发生了根本的变化,这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时,还需要整体微分几何。


量子力学和量子场论的产生,使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画,物理量成为算子,测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子,在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭。


因此,必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外,用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。


物理对象中揭示出的多种多样的对称性,使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。


基本粒子之间,也有种种对称性,可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大,统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论,提供了研究强子结构的工具。这个理论以规范势为出发点,而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络(这是现代微分几何学中非常重要的一个概念)。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。


微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律有深入的研究。


随着电子计算机的发展,数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决,由此发展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。


科学的发展表明,数学物理的内容将越来越丰富,解决物理问题的能力也越来越强。其他各门科学,如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。


在工程科学中,处处需要精确地求解物理问题,所以数学物理对于技术进步也有非常重要的意义。此外,数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。

 

 

泛函分析

 

 

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论,几何学,现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程,概率论,计算数学等分科中都有应用,也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。

 

泛函分析的产生

 

十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段。这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。


  本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽。随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念。

 
  由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。


  非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。


  这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。


  这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符,在数学上,把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。


  研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析。在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

 

泛函分析的特点和内容

 

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了。比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间。


  泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。


  正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容。因此,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中。


  泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

 
  半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等;另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一。


  泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用。

 

 

数值分析

 

 

数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科,是数学的一个分支,它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。

 

数百年前,人类已经将数学应用在建筑、战争、会计,以及许多领域之上,最早的数学大约是西元前1800年巴比伦人泥板(Babylonian tablet )上的计算式子。例如所谓的勾股数(毕氏三元数),(3, 4, 5),是直角三角形的三边长比,在巴比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。


  数值分析在传统上一直不断的在改进,因为像巴比伦人的近似值,至今仍然是近似值,即使用电脑计算也找不到最精确的值.


  运用数值分析解决问题的过程:实际问题→ 数学模型→数值计算方法→ 程序设计→上机计算求出结果
  数值分析这门学科有如下特点:
  1·面向计算机
  2·有可靠的理论分析
  3·要有好的计算复杂性
  4·要有数值实验
  5.要对算法进行误差分析


  主要内容:插值法,函数逼近,曲线拟和,数值积分,数值微分,解线性方程组的直接方法,解线性方程组的迭代法,非线性方程求根,常微分方程的数值解法


路过

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